2 de octubre de 2014

El motel infinito

Hablemos de la paradoja inventada por el matemático David Hilbert (nacido en Königsberg, ¿te suena la ciudad?) que se conoce como el hotel infinito de Hilbert (aunque lo vamos a adaptar a la situación de nuestros amigos Los Simpson).

El alcalde Quimby quiere construir el motel más grande del mundo porque tanto él como sus muchos amigos (políticos o no) quieren tener un motel donde ir con sus amantes y que siempre tengan una plaza libre.

Estando con los constructores empiezan a decir cifras de habitaciones, pero cada vez que dicen un número de habitaciones encuentran un número mayor de habitaciones (estamos en los números naturales claro), hasta que uno dice, hagamos un motel con infinitas habitaciones. Se quedan todos callados y claro está que si es infinito no pueden hacer un motel más grande, así que eso es lo que hacen, el Sleep-Eazy Motel (lo podemos ver en la imagen).

Ya que el motel es infinito, los constructores aseguran que siempre siempre va a haber una habitación para un nuevo huésped, pero ponen una condición, que si se les pide tienen que cambiar de habitación. El alcalde encantado con la propuesta de los constructores y llevan adelante el motel para él y todos sus amigos.

El problema (la paradoja de Hilbert) viene cuando el alcalde Quimby llega a su motel y se encuentra con lo que pone en la imagen (No vacancy = no hay plazas). Asustado por lo que acababa de leer y porque el motel era infinito (¿cómo puede estar lleno?) y tenían asegurada su habitación, el alcalde llega a recepción y pregunta por una habitación (con poca esperanza). Sin embargo el recepcionista le dice que no se preocupe, que en breve le da las llaves de la habitación. En ese momento el recepcionista comunica lo siguiente por megafonía:

Señores clientes, sintiendo las molestias van a tener que cambiar de habitación, su nueva habitación es la que es un número siguiente a la que tienen ahora. Señor Quimby, su habitación es la número 1.

¿Qué ha pasado aquí? ¿Pero no estaba lleno? ¿Cómo es posible que tengan todos habitación y Quimby esté en la número 1? Expliquémoslo, el que se encuentra en la habitación 1 va a la 2 (quedando la 1 libre para Quimby), el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4, y así sucesivamente. Pero, ¿qué ocurre con el que está en la última habitación? Muy sencillo, recordemos que el motel es infinito, luego no hay última habitación.

¿Sorprendido? Bien, esto no acaba aquí, ya que si en lugar de llegar el alcalde Quimby él solo llega con sus infinitos amigos que van con las amantes y el motel muestra el cartel de no hay habitaciones libres, ¿el recepcionista les puede dar una habitación a todos? La respuesta sigue siendo que sí, ya que informa por megafonía lo siguiente:

Señores clientes, sintiendo las molestias van a tener que cambiar de habitación, para saber su nueva habitación solamente han de multiplicar su número de habitación por dos y esa será su habitación. Señor Quimby y amigos, sus habitaciones son las de número impar, elija cada uno la que más le guste.

¡Lo ha vuelto a hacer el recepcionista! Sin embargo, esta vez te dejo a ti meditar y pensar porqué todos los infinitos nuevos clientes tienen habitación y los que ya estaban también (aunque ya te lo he dicho casi todo yo).

Por último, llegan infinitos autobuses y en cada autobús hay infinitos pasajeros que buscan habitación en el motel (el cual no tiene habitaciones libres). ¿A qué habitación va cada uno (los que ya estaban y los nuevos) para tener todos habitación? Esto ya te lo dejo a ti, aunque no es una tarea sencilla.

Espero que te haya gustado y ojalá pudiéramos tener un hotel que siempre tengamos habitación (sin que tenga que ser para ir con la amante como Quimby). See you soon.

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