19 de septiembre de 2014

Tienes un correo

¿Quién no ha recibido alguna vez un correo como el de Homer en el que te dicen que lo reenvies a un número de personas sino tendrás mala suerte? Quien dice correo dice Whatsapp o similar. Por si alguien no lo sabe se trata de correos en los que se pide que se reenvíen a x personas para que ocurra algo o para que no tengas mala suerte o alguna cosa por el estilo. Entonces como no queremos que nos pase nada malo pues lo reenviamos a las personas que nos dice el correo, incluso a veces a más (¿a que sí?).

Vamos a ver cómo estos correos tienen que ver con las progresiones geométricas que se estudian en tercero de la ESO (si no sabes lo que es, no pasa nada).

Supongamos que yo me invento un correo de ese estilo y lo envío a diez de mis amigos. Ellos lo reciben y cada uno lo envía a diez amigos suyos, es decir, lo envían a 100 personas (10 amigos x 10 correos). Estas 100 personas lo envían a otras 10 personas cada una, con lo que lo están enviando a 1000 personas, y así sucesivamente. Imaginemos, antes de seguir, una serie de puntos (es mucho pedir, lo sé):
  • Todas las personas de España tenemos correo (los 47’27 millones)
  • Si alguien envía un correo, ese mismo día lo lee su destinatario
  • Si recibimos el correo, lo enviamos a 10 personas españolas al día siguiente
  • Siempre que enviemos los 10 correos le va a llegar a alguien que antes no lo había recibido (es decir, a una persona no le va a llegar este correo de dos personas diferente)
  • Todos los españoles sabemos reenviar un correo

La pregunta interesante viene ahora, si hoy es 19 de Septiembre y envío el correo a 10 de mis amigos, ¿cuándo habrán recibido el correo todos los españoles? ¡Piensa antes de mirar la solución!

Si no sabemos nada de progresiones geométricas (y aunque sepamos) nos ponemos a pensar. Con lo que me dicen, el día 19 el correo lo leen 10 personas, entonces el día 20 lo leerán las personas a las que estos envían el correo, es decir 10x10=100 (10 personas envían el correo a 10 personas cada uno). Así hasta el día 20 habrán leído el correo 100+10=110 personas. Al día siguiente estas 100 últimas personas enviarán el correo a 100x10=1000 personas (100 personas envían el correo a 10 personas cada uno), que lo recibirán y leerán. Entonces el 21 habrán recibido el correo 1000+100+10=1110 españoles. Con este razonamiento podríamos seguir hasta que cuando la suma de la gente que ha recibido el correo sea mayor que 47’27 millones (el número de españoles). Si lo mostramos en una tabla:

DIA
RECIBEN
LEÍDOS TOTAL
19
10
10
20
10x10=100
100+10=110
21
100x10=1.000
1.000+110=1.110
22
1000x10=10.000
10.000+1.110=11.110
23
10.000x10=100.000
100.000+11.110=111.110
24
100.000x10=1.000.000
1.000.000+111.110=1.111.110
25
1.000.000x10=10.000.000
10.000.000+1.111.110=11.111.110
26
10.000.000x10=100.000.000
100.000.000+11.111.110=111.111.110

Observamos que 7 días después de enviar el mensaje original a 10 amigos, toda la población española (e incluso más del doble) habrán leído ya el correo, así que no es de extrañar que alguna vez hayas recibido un correo del estilo (Te parecen pocos días, ¿no?).

Recordemos ahora que una progresión geométrica es una serie de números en el que cada término se obtiene de multiplicar el anterior por un cierto número llamado razón, y tiene por forma general que cualquier término n de la progresión es an=a1·rn-1, donde a1 es el primer término y r es la razón. Por ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... es una progresión geométrica porque de un número a otro multiplicamos por 2 (la razón) y el primer término  es el 1. 

Por tanto, podemos ver este problema como una progresión geométrica, donde cada término ai sería el número de personas que recibe el correo el día i. Como el primer día reciben el correo 10 personas (esto sería el primer término de la progresión, a1) y cada día que pasa reciben el correo 10 veces más de personas, es decir, multiplicar por diez las personas del día anterior (esto sería la razón, r, de la progresión). Además, el número de personas que reciben el correo un cierto día n sería el término an. Así que ya tenemos (con la fórmula general) que el número de personas que recibe el correo un día n es an=10·10n-1. (Puedes comprobar que dando valores a n obtenemos los de la tabla).

Sin embargo, nos preguntan por el día (n) en el que todos los españoles han leído el correo. Si nos fijamos en lo que hemos hecho antes, hemos ido sumando la gente que iba leyendo el correo cada día. Para las sucesiones geométricas tenemos que la suma de n términos de la sucesión es:
$$S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}$$
Luego tenemos que ver para qué n (qué día) tenemos que Sn (la suma de la gente que ha leído el correo) es igual a 47’27 millones, es decir, encontrar el valor de n:
$$47.270.000=10\frac{10^n-1}{10-1}$$
Despejando,
$$\frac{47.270.000·9}{10}+1=10^n$$
$$42543001=10^n\rightarrow n=\log42543001\approx 7'688$$
AVISO: el último paso es de 4º de la ESO ya que aparecen los logaritmos.

Observamos que en este caso hemos obtenido lo mismo que cuando lo hemos hecho sin progresiones (bueno, en realidad hemos obtenido que el día 7'688 ya lo han recibido todos, es decir, después de 7 días). Para acabar, te dejo un par de ejercicios para que te entretengas:
  • ¿Cuándo recibiríamos todos los españoles el correo si el primer correo se envía a 10 personas, pero solo se reenvía a 4? (Esto puede ser más real porque no todos lo reenvían o podemos enviarlo a alguien que ya lo ha recibido antes).
  • ¿Con los datos del ejercicio anterior planteado, ¿cuánta gente recibe el correo después de pasar 20 días? Si el problema fuera en China, ¿cuándo lo recibirían todos los chinos?

Nos vemos pronto!!!!

Esta entrada participa en la Edición 5.6: Paul Erdös del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas

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