25 de septiembre de 2014

Números con personalidad

Hablaremos hoy en Los números de Maggie sobre números que por tener unas características especiales se les ha puesto algún adjetivo como si fueran personas, y es que los números son más cercanos a nosotros de lo que nos pensamos.

Empecemos con los números perfectos, y es que un número natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (sin contar a él mismo). Por ejemplo, el primer número perfecto es el 6 porque sus divisores propios son 1, 2 y 3 y si los sumamos 1+2+3=6 ¡Voilà! Los primeros números perfectos son 6, 28, 496, 8128, 33550336,…

Observamos que los primeros números perfectos son pares, y es que hasta la fecha solamente se conocen números perfectos pares, y además todo número perfecto par tendrá como última cifra un 6 ó un 8. Falta saber si también pueden ser impares, ¡ya tienes faena! Por último, indicar que Leonhard Euler demostró que si p es un número par, entonces p es un número perfecto si es de la forma $$2^{n-1}(2^n-1)$$ ,donde 2n-1 es primo, conocido además como primo de Mersenne.

Quizá decir que ser perfecto no es muy de personas, pero, ¿y si te digo que hay números que son amigos? (como Lenny y Carl) esto ya mola más. Pues bien, se dice números amigos a dos enteros a y b de manera que la suma de los divisores propios de a es igual a b y viceversa. ¿Te has liado? Bueno, he aquí un ejemplo:

Los divisores propios del 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.
Los divisores propios del 284 son 1, 2, 4, 71 y 142.
Ahora bien, 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 y 1+2+4+71+142=220, así que 284 y 220 son números amigos ¡give me five!

Estos números han sido estudiados por los pitagóricos, Fermat, Descartes y cómo no, Euler. Por si te apetece entretenerte un rato, Fermat descubrió que los números 17296 y 18416 son amigos, ¿será verdad o desde que lo dijo Fermat se han peleado y ya no lo son? (Te lo dejo para que lo compruebes).

Pero en la vida real las personas no somos solamente dos amigos, sino que podemos tener un grupo grande de amigos, ¿verdad? Pues con los números ocurre lo mismo y tenemos números sociables. Estos números son como los números amigos pero simplemente lo conforman más números, es decir la suma de los divisores del primero da el segundo, la suma de los del segundo el tercero, y así sucesivamente hasta que la suma de los divisores del último da el primero. Veamos un ejemplo de 4 números sociables:

Partimos del número 1264460, calculamos sus divisores propios y los sumamos:
1+2+4+5+10+17+20+34+68+85+170+340+3719+7438+14876+18595+37190+63223+74380+126446+252892+316115+632230=1547860. Tenemos así que el siguiente número es el 1547860. Si sumamos los divisores de este último número obtenemos el 1727636, hacemos lo mismo y obtenemos el 1305184, cuya suma de divisores es el 1264460 que es el número de partida. Por lo tanto, tenemos que los números 1264460, 1547860, 1727636 y 1305184 son números sociables.

Para cerrar este post, comentar que los números perfectos son un ejemplo de números sociables con un solo número (de orden uno), los números amigos son números sociables de orden dos, el ejemplo son números sociables de orden 4, y por el momento no se conocen números sociables de orden 3 (ahí te lo dejo).

¡Hasta aquí esta segunda entrega de Los números de Maggie! See you son.

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